Ideal dan Beberapa Sifatnya

Alhamdulillah, besok pagi, senin tanggal 28 September aku sudah mulai masuk kuliah. Aku cukup bersemangat menantikan tanggal tersebut karena beberapa hari ini ada seseorang yang tidak henti-hentinya memberikan semangat untukku dan tidak lelah mengirim sms yang berisi:

�Ipin, kuliahnya yang semangat ya�

Prolognya ga penting banget deh. Ehmm, baiklah, sebelumnya aku ingin mencoba mereview kembali tentang apa yang sudah aku pelajari beberapa waktu yang lalu, yaitu tentang Ideal. Selamat membaca ya.

Definisi (Ideal)
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan $$I\subseteq R$$. Himpunan I disebut ideal di ring R jika dan hanya jika himpunan I memenuhi ketiga aksioma berikut:

1) $$I\neq\emptyset$$
2) $$a-b\in I,\;\forall a,b\in I$$
3) $$ar\in I,\;\forall a\in I,\; r\in R$$

Ideal I disebut ideal trivial jika $$I=\left\{ 0\right\} $$ dan ideal I disebut ideal sejati (proper ideal) jika $$I\neq R$$.

Selanjutnya, perhatikan teorema berikut.

Teorema
Diketahui R adalah ring komutatif dan I,J adalah ideal pada ring R, maka ketiga sifat berikut berlaku:

1. $$I\cap J=\left\{ a|a\in I\;\&\; a\in J\right\} $$ merupakan ideal pada ring R.

2. $$I+J=\left\{ a+b|a\in I,\; b\in J\right\} $$ merupakan ideal pada ring R.

3. $$IJ=\left\{ \sum a_{i}b_{i}|ai\in I,\; bi\in J\right\} $$ merupakan ideal pada ring R.

Bukti :
1. Diketahui I,J masing-masing merupakan ideal-ideal pada ring R. Akan dibuktikan bahwa himpunan $$I\cap J$$ merupakan ideal.

a) $$0\in I\cap J$$ sehingga jelas $$I\cap J\neq\emptyset$$.

b) Untuk sebarang $$a,b\in I\cap J$$ berlaku $$a-b\in I\cap J$$
karena $$a,b\in I$$ dan $$a,b\in J$$
sehingga cukup jelas berlaku $$a-b\in I$$ dan $$a-b\in J$$.

c) Untuk sebarang $$a\in I\cap J$$ dan $$r\in R$$ berlaku $$ra\in I\cap J$$
karena $$a\in I$$ dan $$a\in J$$
sehingga cukup jelas berlaku $$ra\in I$$ dan $$ra\in J$$.

Dengan demikian, terbukti bahwa himpunan $$I\cap J$$ merupakan ideal di ring R. Secara umum, akan diperoleh bahwa irisan ideal-ideal juga merupakan ideal.

2. Diketahui I,J masing-masing merupakan ideal-ideal pada ring R. Akan dibuktikan bahwa bahwa himpunan I + J merupakan ideal.

a) $$0\in I+J$$ sehingga jelas $$I+J\neq\emptyset$$.

b) Untuk sebarang $$a=\left(a_{1}+a_{2}\right),\; b=\left(b_{1}+b_{2}\right)\in I+J$$ berlaku:

$$a-b=\left(a_{1}+a_{2}\right)-\left(b_{1}+b_{2}\right)=\left(a_{1}-b_{1}\right)+\left(a_{2}-b_{2}\right)\in I+J$$

karena jika $$a_{1},b_{1}\in I$$ dan $$a_{2},b_{2}\in J$$
maka cukup jelas bahwa $$a_{1}-b_{1}\in I$$ dan $$a_{2}-b_{2}\in J$$.

c) Untuk sebarang $$a=\left(a_{1}+a_{2}\right)\in I+J$$ dan $$r\in R$$ berlaku:

$$ra=r\left(a_{1}+a_{2}\right)=\left(ra_{1}\right)+\left(ra_{2}\right)\in I+J$$

karena jika $$a_{1}\in I$$ dan $$a_{2}\in J$$
maka cukup jelas bahwa $$ra_{1}\in I$$ dan $$ra_{2}\in J$$.

Dengan demikian, terbukti bahwa himpunan I + J merupakan ideal di ring R. Secara umum, akan� diperoleh bahwa penjumlahan ideal-ideal juga merupakan ideal.

3. Nah, untuk bagian ini, dipending dulu ya, nulis pakai lateksnya agak susah, masih agak gaptek soalnya.

Semoga bermanfaat ya. Mari kita senantiasa berbagi ilmu pengetahuan. Apa saja. Nuwun.