Lemma 2.3.4

Entah kenapa aku merasa ingin terus membahas skripsiku kemarin. Semoga selalu seperti ini, maksudku ingin terus membaca-baca kembali apa yang aku geluti selama hampir satu tahun itu. Kali ini aku ingin membahas Lemma 2.3.4 yang ada di skripsiku. Selamat membaca ya.

Sebelumnya, didefinisikan terlebih dahulu himpunan $$\left(N:M\right)$$ yaitu:

$$\left(N:M\right)=\left\{ r\in R|rM\subseteq N\right\} $$

Eit, jangan sampai lupa ya, bahwa aku “bekerja” dengan ring komutatif R dengan elemen satuan loh ya.

Lemma 2.3.4
Jika M adalah R-modul dan N adalah submodul, maka $$\left(N:M\right)$$ adalah ideal di ring R.

Bukti :
Diketahui M adalah R-modul. Akan dibuktikan $$\left(N:M\right)$$ adalah ideal. Selanjutnya diambil sebarang $$a,b\in\left(N:M\right)$$ dan $$r\in R$$, maka akan berlaku hal-hal sebagai berikut:

1. Jelas $$\left(N:M\right)\neq\emptyset$$ karena $$0\in\left(N:M\right)$$.

2. Karena $$a,b\in\left(N:M\right)$$ maka $$aM\subseteq N$$ dan $$bM\subseteq N$$ sehingga berlaku:

$$\left(a-b\right)M=aM-bM\subseteq N$$

Dengan kata lain, $$a-b\in\left(N:M\right)$$.

3. Karena $$aM\subseteq N$$ maka untuk sebarang $$r\in R$$ berlaku:

$$\left(ra\right)M=r\left(aM\right)\subseteq N$$

Dengan kata lain, $$ra\in\left(N:M\right)$$.

Dari tiga hal di atas, maka terbukti bahwa himpunan $$\left(N:M\right)=\left\{ r\in R|rM\subseteq N\right\} $$ adalah ideal di ring R.

Semoga tulisan pendek ini bermanfaat ya. Mari kita senantiasa berbagi ilmu pengetahuan, apa saja. Nuwun.

Footer: dokumentasikanlah hidup Anda selalu.

Facebook Comments:

4 thoughts on “Lemma 2.3.4

  1. Saya ndak tau yang begini-beginian.. tapi dengan melihat tanpa membaca apalagi mendalami, saya tau sampeyan pasti brillian..:)
    Maju terus, Bos!

    ” admin:
    aku merasa njenengan telalu berlebihan deh, mas. πŸ˜›

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *