Prime >< Irreducible?

Kaitan antara elemen prima dan elemen tak tereduksi, inilah yang ingin aku bahas di sini. Kali ini aku ingin menuliskan tentang apa yang aku baca beberapa waktu lalu. Judul subbabnya adalah Faktorisasi Tunggal, dan diawali dengan beberapa definisi dan comments. Pada tulisan ini, semua ring adalah daerah integral.

Sebelumnya, apa itu daerah integral? Daerah integral adalah ring komutatif yang tidak memiliki pembagi nol. Dengan kata lain, R disebut daerah integral jika

untuk setiap $$a,b\in R$$

berlaku:

$$ab=0\;\Rightarrow\; a=0\;\vee\; b=0$$.

Apa itu pembagi nol? Jika a dan b adalah tak nol tetapi berlaku a.b = 0 maka a dan b disebut pembagi nol. Selanjutnya, agak sedikit melebar, jika untuk setiap $$a\in R$$ terdapat $$b\in R$$ sehingga berlaku $$ab=ba=1$$ maka a disebut unit atau kita katakana a memiliki invers.

Contoh daerah integral:
$$\left(\mathbb{R},+,\:.\:\right)$$ dan $$\left(\mathbb{Z},+,\:.\:\right)$$ adalah daerah integral, dimana $$\mathbb{R}$$ dan $$\mathbb{Z}$$ masing-masing adalah himpunan bilangan real dan bulat.

Berikut adalah beberapa definisi yang terkait dengan faktorisasi tunggal:
Perhatikan bahwa sebuah unit di ring R adalah sebuah elemen yang memiliki invers terhadap perkalian. Elemen a dan b dikatakan terasosiasi (associates) jika a = u.b untuk suatu unit u. Misalkan a adalah elemen nonunit tak nol. a dikatakan elemen tak tereduksi (irreducible) jika a tidak dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dari elemen-elemen nonunit. Dengan kata lain, jika a = b.c maka b atau c pasti unit.

Lagi, misalkan a adalah elemen nonunit tak nol. a disebut elemen prima jika a membagi habis elemen suatu hasil kali maka a juga membagi habis salah satu faktornya. Dengan kata lain, jika a membagi habis bc maka a membagi habis b atau a membagi habis c (a membagi habis b artinya $$\frac{b}{a}=r$$ untuk suatu r elemen R).

Hal ini termotivasi dari definisi bahwa jika p adalah elemen tak nol di R maka p adalah elemen prima jika hanya dan jika < p > adalah ideal prima.

Proposisi:
Jika a adalah elemen prima maka a adalah elemen tak tereduksi, tetapi tidak berlaku sebaliknya.

Bukti:
Kita gunakan notasi standar yaitu r|s untuk menyatakan bahwa r membagi habis s. Misalkan a adalah elemen prima, dengan a=bc, sehingga berlaku a|bc. Dengan definisi prima, a|b atau a|c.
Jika a|b maka untuk suatu d elemen R berlaku b = ad = (bc)d = bcd, sehingga cd = 1, yang artinya c adalah unit. (Perhatikan bahwa b tidak boleh 0 karena a adalah elemen prima).
Dengan cara yang sama, jika a|c maka untuk suatu d elemen R berlaku c = ad = (bc)d = bcd, sehingga bd = 1, yang artinya b adalah unit. Oleh karena itu, tebukti bahwa a adalah elemen tak tereduksi (irreducible).

Untuk memberikan contoh sebuah elemen tak tereduksi tetapi tidak prima, bentuk himpunan:

$$R=\mathbb{Z}\left[\sqrt{-3}\right]=\left\{ a+ib\sqrt{3}\;|\; a,b\in\mathbb{Z}\right\} $$

Di R tersebut, 2 adalah elemen tak tereduksi tetapi merupakan elemen prima. Untuk buktinya, lain kali ya, aku capek nulisnya, hehehe.

Sebenarnya apa yang aku tulis ini adalah bagian kecil dari apa yang aku pelajari semester ini. Semoga bermanfaat bagiku pada khususnya dan bagi Anda pecinta aljabar pada umunya. Mari kita senantiasa berbagi ilmu pengetahuan dan pengalaman. Apa saja. Nuwun.