Sedikit Tentang Keprimaan Ideal, Ring, Submodul, dan Modul

aku2

Beberapa hari yang lalu, dalam kuliah Teori Ring Lanjut, aku mendapatkan tugas untuk membuat sebuah tulisan mengenai ring prima. Tugas ini sifatnya berkelompok, dan nantinya akan dipresentasikan di depan kelas. Kebetulan aku bersama Mba Nana dalam mengerjakan tugas ini. Di sini akan aku tuliskan beberapa hal yang menjadi bahan kajian kami, yaitu beberapa definisi, teorema, dan proposisi terkait dengan ideal prima, ring prima, submodul prima dan modul prima. Silakan menikmati.

Pertama, mungkin ada baiknya diberikan terlebih dahulu definisi ideal prima dalam suatu ring, yaitu sebagai berikut:

IDEAL PRIMA
Definisi 1: Misalkan R ring dan $$I\subset R$$ adalah ideal di ring R. Ideal I disebut ideal prima jika untuk setiap ideal-ideal $$A,B\subseteq R$$ berlaku

$$AB\subseteq I\;\Rightarrow\; A\subseteq I\;\bigvee\; B\subseteq I$$

Ada juga definisi ideal prima yang ekuivalen dengan definisi tersebut, yaitu sebagai berikut. Ideal I disebut ideal prima jika $$(\forall a,b\in R)$$ berlaku:

$$aRb\subseteq I\;\Rightarrow\; a\in I\;\bigvee\; b\in I$$

Untuk kasus khusus, yaitu pada suatu ring yang komutatif, Anda bisa langsung menuliskan definisi ideal prima tersebut menjadi sebagai berikut. Ideal I disebut ideal prima jika $$(\forall a,b\in R)$$ berlaku:

$$ab\in I\;\Rightarrow\; a\in I\;\bigvee\; b\in I$$

Selanjutnya, setelah mengenal dua definisi ideal prima di atas, mari kita mengenal definisi dari ring prima, yaitu sebagai berikut:

RING PRIMA
Definisi 2: Suatu ring R disebut prima jika untuk setiap dua ideal $$A,B\subseteq R$$ berlaku

$$AB\subseteq0\;\Rightarrow\; A=0\;\bigvee\; B=0$$

Definisi dari ring prima yang lain adalah sebagai berikut:

Definisi 3: Suatu ring R disebut prima jika {0} merupakan ideal prima.

Perhatikan bahwa definisi 2 dan definisi 3 ekuivalen, dan hal ini dapat dibuktikan.

Proposisi 1: Ideal $$P\subset R$$ prima jika dan hanya jika ring faktor R/P adalah ring prima.

Setelah Anda mengenal definisi ideal prima dan ring prima, ada baiknya juga Anda mengenal istilah annihilator atau “pengenol/pembuat nol”

ANNHILATOR
Definisi 4: Untuk sebarang subset tak kosong $$K\subset M$$ dinotasikan annhilator dari K, yaitu sebagai berikut:

$$Ann_{R}(K)=\{r\in R|rK=0\}=\{r\in R|rk=0,\;\forall k\in K\}$$

Selanjutnya, untuk sebarang submodul K dari R-modul M, didefinisikan himpunan (K:M), yaitu sebagai berikut:

$$(K:M)=\{r\in R|rM\subseteq K\}=\{r\in R|rm\in K,\;\forall m\in M\}$$

Perhatikan bahwa ternyata (K:M) adalah annihilator dari R-modul M/K, yaitu sebagai berikut:
$$Ann_{R}(M/K)=\{r\in R|r\overline{m}=\overline{0},\;\forall\overline{m}\in M/K\}=\{r\in R|\overline{rm}=\overline{0},\;\forall\overline{m}\in M/K\}=\{r\in R|rm+K=0+K,\;\forall m\in M\}=\{r\in R|rm\in K,\;\forall m\in M\}=(K:M)$$

Setelah Anda mengenal annihilator, ada baiknya Anda tahu kaitan antara annihilator suatu suatu R-modul M, annihilator submodul K di dalam M, dan annihilator modul faktornya M/K, yaitu sebagai berikut:

Lemma 1: Untuk sebarang submodul K dari R-modul M, berlaku

$$Ann_{R}(K).Ann_{R}(M/K)\subseteq Ann_{R}(M)$$

Nah, dari definisi ideal prima di atas, kita akan berkenalan dengan definisi submodul prima pada suatu modul. Namun, di sini kita asumsikan bahwa ring yang diberikan adalah ring komutatif, jadi kita bisa menggunakan definisi ideal prima yang menjadi kasus khusus pada definisi 1 di atas, yaitu ideal I di ring R disebut ideal prima jika I adalah ideal sejati (I tidak sama dengan R) dan $$(\forall a,b\in R)$$ berlaku:

$$ab\in I\;\Rightarrow\; a\in I\;\bigvee\; b\in I$$

Selanjutnya, dengan memandang R sebagai modul atas dirinya sendiri (R adalah R-modul), maka perkalian $$ab\in I$$ dapat dipandang sebagai bentuk perkalian $$a\in R$$ (R sebagai ring) dan $$b\in R$$ (R sebagai modul), sehingga jika I ideal prima maka berlaku $$a\in I$$ atau $$b\in Ann_{R}(R/I)$$, dengan $$(R/I)=\{r+I|\forall r\in R\}$$. Hal ini memotivasi adanya definisi submodul prima pada R-modul M, yaitu sebagai berikut:

SUBMODUL PRIMA
Definisi 5:
Diberikan M adalah R-modul dan N adalah submodul di M. Submodul N disebut submodul prima jika $$N\neq M$$ (artinya N merupakan submodul sejati M) dan $$(\forall r\in R),(\forall m\in M)$$ berlaku:

$$rm\in N\;\Rightarrow\; m\in N\;\bigvee\; r\in(N:M)$$

dengan $$(N:M)=\{r\in R|rM\subseteq N\}=\{r\in R|rm\in N,\;\forall m\in M\}$$.

Definisi 6: Untuk sebarang R-modul M dan N adalah submodul di M, maka submodul N disebut submodul prima jika $$N\neq M$$ (artinya N merupakan submodul sejati M) dan $$(\forall r\in R),(\forall m\in M\backslash N)$$ berlaku:

$$rm\in N\;\Rightarrow\; r\in(N:M)$$

Perhatikan juga bahwa definisi 5 dan definisi 6 ekuivalen.
Contoh: Submodul {0} dalam $$Z-modul\; Z_{5}$$ adalah submodul prima tetapi submodul {0} dalam $$Z-modul\; Z_{6}$$ bukanlah submodul prima.

SIFAT-SIFAT DARI SUBMODUL PRIMA
Teorema 1:
Untuk suatu R-modul M, submodul K di M, dan ideal annihilator $$(K:M)=Ann_{R}(M/K)$$ di ring R. Maka pernyataan berikut ekuivalen:
1. K adalah submodul prima.
2. Setiap submodul taknol di M/K memiliki annhilator yang sama, yaitu

$$(K:M)=Ann_{R}(M/K)$$.

FULLY INVARIANT SUBMODULE
Definisi 7:
Misalkan K submodul dari M. Jika untuk sebarang berlaku , maka K disebut fully invariant submodul dari M.

MODUL FAITHFUL
Definisi 8:
Misalkan M adalah R-modul. Modul M disebut modul faithful jika

$$Ann_{R}(M)=\{0\}$$ .

MODUL PRIMA
Definisi 9:
Jika diberikan M adalah R-modul, maka M disebut R-modul prima jika {0} adalah submodul prima di M.

Contoh: $$Z-modul\; Z$$ adalah modul prima. Dengan kata lain, merupakan submodul prima di $$Z-modul\; Z$$. Dengan demikian, $$Z-modul\; Z$$ merupakan modul prima.

Akibat 1: R-modul M disebut prima jika dan hanya jika setiap submodul tak nol di M memiliki annhilator yang sama, yaitu $$Ann_{R}(M)$$.

Proposisi 2: Misalkan R adalah ring dan M adalah R-modul. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:
(a) $$\overline{R}=R/Ann_{R}(M)$$ adalah ring prima.
(b) Untuk sebarang submodul K di M, $$Ann_{R}(K)=Ann_{R}(M)$$ atau $$Ann_{R}(M/K)=Ann_{R}(M)$$.

Definisi 10: M R-modul disebut prime jika untuk setiap K submodul fully invariant dari M, berlaku:

$$Ann_{R}(K)=Ann_{R}(M)$$

Perhatikan bahwa Definisi 9 dan Definisi 10 juga ekuivalen.
Proposisi 3: Untuk suatu modul M dan $$S=End_{R}(M)$$, dan dinotasikan $$\overline{R}=R/Ann_{R}(M)$$ pernyataan berikut ini ekuivalen:
1. M modul prima
2. $$Ann_{R}(K)=Ann_{R}(M)$$ untuk sebarang submodul K tak nol di M.
3. $$\overline{R}=R/Ann_{R}(M)$$ adalah K-cogenerated untuk sebarang submodul K tak nol di M.
4. $$\overline{R}=R/Ann_{R}(M)$$ adalah K-cogenerated untuk sebarang K submodul fully invariant tak nol di M.

Proposisi 4: Misalkan M adalah R-modul, $$S=End_{R}(M)$$, dan dinotasikan $$\overline{R}=R/Ann_{R}(M)$$, pernyataan berikut ini ekuivalen:
1. Jika M prima, maka $$\overline{R}=R/Ann_{R}(M)$$ adalah ring prima.
2. Jika $$\overline{R}=R/Ann_{R}(M)$$ adalah ring prima dan $$Ann_{R}(M/K)\varsubsetneq Ann_{R}(M)$$ untuk sebarang submodul K tak nol dari M, maka M adalah modul prima.

Akibat 2: Misalkan M adalah R-modul, $$S=End_{R}(M)$$ , dinotasikan $$\overline{R}=R/Ann_{R}(M)$$, dan M adalah modul faithful:

Jika M prima, maka R adalah ring prima

Untuk bukti-buktinya, silakan Anda baca kembali di sini. Terus terang, proposisi 3 bagian 3&4 dan proposisi 4, aku masih kurang begitu mengerti, tetapi aku akan berusaha untuk mempelajarinya kembali. Aku yakin, Anda bisa lebih mengerti dari aku kok. Semoga tulisan ini bisa bermanfaat bagi Anda para pecinta aljabar di negeri ini. ð

Hufftt, ternyata cukup melelahkan juga menulis sintaks dengan Lateks. Baiklah, mungkin ini yang bisa aku tuliskan kali ini. Mari kita senantiasa berbagi ilmu pengetahuan, apa saja. Nuwun. Btw, aku istirahat dulu ya. ð

aku2

Footer: dokumentasikanlah hidup Anda selalu.

Facebook Comments:

2 thoughts on “Sedikit Tentang Keprimaan Ideal, Ring, Submodul, dan Modul

  1. pin… iku mas-mas spamnya mbok ga usah disuruh masuk..

    “admin:
    biarin aja lah, ren. orang mereka ga ganggu ini… 😛

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *