-Emil Artin-
Sebenarnya tulisan ini adalah bagian dari tugasku dalam mata kuliah Teori Ring Lanjut semester kemarin. Aku pikir daripada mubadzir, tidak berlebihan rasanya jika aku tuliskan kembali di sini. Semoga bermanfaat dan selamat membaca.
Teorema:
Jika R adalah ring artin maka setiap ideal prima di R adalah ideal maksimal.
Bukti:
Untuk mempermudah pembahasan, ada baiknya jika Anda melihat gambar berikut:
Diketahui R adalah ring artin. Akan dibuktikan bahwa setiap ideal prima di ring R adalah ideal maksimal.
Ambil sebarang ideal prima P di ring R. Teorema ini akan dibuktikan dengan pengandaian. Andaikan P bukan ideal maksimal, maka terdapat elemen non-unit
$$a\in R-P$$
sehingga berlaku:
$$P+\left(a\right)\supseteq P+\left(a^{2}\right)\supseteq P+\left(a^{3}\right)\supseteq P+\left(a^{4}\right)\supseteq…$$
adalah rantai ideal turun di ring R. Karena P ideal prima maka untuk sebarang ideal-ideal
$$P+\left(a^{k}\right),\; P+\left(a^{k+1}\right)\subseteq R,$$
berlaku:
$$P+\left(a^{k}\right)\nsubseteq R\;\&\; P+\left(a^{k+1}\right)\in R\;\Longrightarrow\;\left(P+\left(a^{k}\right)\right)\left(P+\left(a^{k+1}\right)\right)\nsubseteq R$$
dengan $$k\in\mathbb{N}$$.
Dari sini diperolah bahwa rantai turun di ring R tersebut tidak akan pernah stasioner, artinya tidak ada $$k\in\mathbb{N}$$ sehingga berlaku:
$$P+\left(a^{k}\right)=P+\left(a^{k+1}\right)=P+\left(a^{k+2}\right)=…$$
Hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa R adalah ring artin. Jadi, terbukti bahwa jika R adalah ring artin maka setiap ideal prima di ring R adalah ideal maksimal.
Karakteristik ring artin yang lain adalah sebagai berikut.
Teorema:
Suatu daerah integral yang artin adalah lapangan.
Bukti:
Diketahui bahwa ring R adalah daerah integral yang artin. Akan ditunjukkan bahwa ring R adalah lapangan.
Ambil sebarang $$0\neq a\in R$$. Dari sini, akan diperoleh sebarang rantai turun:
$$\left(a\right)\supseteq\left(a^{2}\right)\supseteq\left(a^{3}\right)\supseteq…$$
Karena R adalah ring artin maka akan ada $$k\in\mathbb{N}$$ sehingga berlaku:
$$\left(a^{k}\right)=\left(a^{k+1}\right)=\left(a^{k+2}\right)=…$$
Dari sini, untuk suatu $$u\in R$$ akan berakibat:
$$a^{k}=\left(a^{k+1}\right)u\Longleftrightarrow0=a^{k}-\left(a^{k+1}\right)u\Longleftrightarrow0=a^{k}-\left(aa^{k}\right)u\Longleftrightarrow0=a^{k}\left(1-au\right)$$
Perhatikan bahwa ring R adalah daerah integral, sehingga berlaku:
$$a^{k}=0$$ atau $$\left(1-au\right)=0$$
Jelas bahwa tidak mungkin bahwa $$a^{k}=0$$ karena pengambilan sebarang $$0\neq a\in R$$ di atas. Jadi, yang mungkin terjadi adalah
$$\left(1-au\right)=0$$ atau $$1=au$$
Dari sini, dapat diambil kesimpulan bahwa untuk sebarang $$0\neq a\in R$$ terdapat $$u\in R$$ sehingga berlaku $$1=au$$, yang artinya a adalah unit (R adalah lapangan). Dengan demikian terbukti bahwa suatu daerah integral yang artin adalah lapangan.
Sekian, semoga bermanfaat. Marilah kita senantiasa berbagi ilmu pengetahuan, apa saja. Nuwun.
skripsiku dulu… ring artinian
“admin:
wuih keren. bisa minta soft filenya? buat belajar… 🙂